Просмотрел Steenrod, A convenient category of topological spaces, http://en.wikipedia.org/wiki/Compactly_g... и http://nlab.mathforge.org/nlab/show/conv...
Категория (хаусдорфовых) топологических пространств Top не является декартово замкнутой. Это свойство мешает строить в ней теорию гомотопий.
Например, хочется, чтобы в соответствующей категории пространств с отмеченной точкой выполнялось
C(\Sigma X, Y) = C(X \wedge S^1, Y) = C(X, C(S^1, Y)) = C(X, \Omega Y).
Но в Top есть полная подкатегория kTop — категория компактно порожденных пространств.
Она содержит практически все разумные пространства — локально компактные пространства и пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, в том числе метрические пространства, многообразия и CW-комплексы.
Есть функтор k: Top → kTop, который добавляет к топологии плохих пространств новые открытые множества, но не меняет топологию компактно порожденных пространств.
При этом множества компактных подмножеств X и k(X) совпадают, а тождественное отображение k(X) → X индуцирует изоморфизм гомотопических групп и сингулярных гомологий и когомологий.
Этот функтор позволяет построить произведение и экспоненциал в kTop:
X \times Y = k(X \times_{Top} Y),
Y^X = kC(X, Y)
Для этих операций уже верно замечательное тождество X^{Y \times Z} = (X^Y)^Z, а также (X \times Y)^Z = X^Z \times Y^Z.
Если X компактно порождено, а Y локально компактно, то X \times Y = X \times_{Top} Y.
Следовательно, не изменяется понятие гомотопии. (Y = отрезок)
Еще kTop замкнута относительно разумных операций.
Далее строится категория пространств с отмеченной точкой. В ней выполняются аналогичные соотношения.
Еще можно построить категорию пар (объекты — корасслоения), троек, etc.

#onngin

2 comments recommend bookmark subscribe