Уже пару недель онлайн на псто и только сейчас до меня дошло, что тут полно скиллованных в математике людей. Объясните пожалуйста мне по хардкору, почему так мало примеров по теме теорем(ы) Гёделя о неполноте? Пример с заменой одной аксиомы на другую и получением на выходе геометрии Лобачевского уже навяз в зубах, а других примеров как-то не предвидится. Неужели другие "формальные системы аксиом" настолько сложны, что неподготовленный читатель просто не поймёт примера? Неужели геометрия Лобачевского — это ЕДИНСТВЕННЫЙ пример, доступный для понимания широким кругом людей?
Вы же тут, в отличие от меня, обмазывались адовым матаном, неужели вы не изучали хоть каких-нибудь ещё "формальных системы аксиом", в которых аналогично можно было бы заменить одну аксиому на другую, и получить занятный результат?
P.S. Если я тут ахинею спросил, и геометрии Евклида/Лобачевского вообще никаким боком к Гёделю, и я попутал — то сорри, значит, не хватило скилла.
55 comments
recommend
bookmark
subscribe
Куча логических систем, например.
это тебе помоему в гротендиковские топосы надо, увязывать геометрию с логикой
Возможно, вы имели ввиду: гольдблатт.
скетчи зеленого слона
ебать ты гуманитарий
Да. Нет. Да. Дальше не читал
Эм, у Гольдблата рассказывается о том, как непросто было Ловеру ввести аксиомы теории категорий, не юзая аксиомы теории множеств, и как Ловер сначала сфейлил, а потом пришёл Тирни и у них всё получилось. Но меня-то интересовали поименнованные ПАРЫ теорий, отличающиеся одной аксиомой, по аналогии с вышеупомянутыми геометриями. Но, как я понимаю, в настоящий момент используется ОДНА теория множеств, и ОДНА теория категорий, и тут мне ловить нечего. То есть всё ж таки геометрии Евклида и Лобачевского остаются ЕДИНСТВЕННЫМ примером того, как в систему аксиом добавили утверждение А, и получили Евклида, а добавили вместо А утверждение B, несовместимое с А, и получили Лобачевского, оставив и первую и вторую системы аксиом непротиворечивыми, о чём и говорит теорема Гёделя о неполноте. Довольно грустно осознавать, что теорема Гёделя, с которой все так носятся, даёт такой скромный результат. Должны же существовать ещё ПАРЫ теорий? Вот об этих парах и спрашивается в /0
Причём утверждения А и В, дабы они были пригодными для ввода в систему аксиом, должны обладать охуенный свойством — их должно быть невозможно доказать, пользуясь аксиомами, уже существующими в данной системе.
Да, у меня, как у гуманитария, есть некоторая претензия к теореме Гедёля — она утверждает, что можно по-пацански добавить аксиому, и будет заебца. Но что-то не слышно, чтобы кроме Лобачевского кто-то смог добавить аксиому, все как-то фейлятся. Эх, вот нашёлся бы такой Иванов, добавил бы аксиомку в теорию множеств, и получил бы альтернативную теорию множеств Иванова. А Петров бы добавил аксиомку в теорию категорий, и получил бы альтернативную теорию категорий Петрова. Цены бы им не было. Но вот отчего-то нет таких Ивановых и Петровых. А значит теорема Гёделя моей гуманитарной половине не кажется такой охуенной, как её расписывают в интернетах.
Добавить аксиому не любую можно. Там смысл скорее в другом — для любой непротиворечивой системы аксиом найдется утверждение, которое нельзя доказать в рамках этой системы аксиом. Соответственно, это новое утверждение (вместе с его истинностью или ложностью) придется включить в набор аксиом. Впрочем, о его построении ЕМНИП ничего не говорится, это вам не категорный анализ с его конструктивными доказательствами.
"ОДНА теория категорий" звучит странновато
теоркат тащемто для того и нужен, чтобы подсовывать в него всякие частные теории и получать результаты автоматически
и воще то огород с теоремами Гёделя воротился не ради геометрий, а ради дыр в теории множеств
чото как-то не совсем верно ты понимаешь Гёделевы теоремы
они про то, что аксиоматическая система либо неполна (слишком слаба), либо противоречива (слишком сильна), третьего не дано
добавляй-отнимай аксиомы, ничего не исправишь
/10.
эх, вот если бы весь этот умный матан дал бы на выходе безглючную ОС с безглючным гуем — я бы кипятком писал от радости.
а так — весь этот вкусный матан отдельно, а суровая кривая реальность — отдельно.
Вот я тупой долбоёб, тролль и гуманитарий. объясните мне, пожалуйста, что на практике может дать эта теория категорий в самом радужном случае?
вот кванты и ТО, на практике, порождают компы и ГПС, это понятно.
термодинамика дает ДВС и холодильник.
аэродинамика дает самолёт.
химия и биология дают еду, одежду, обувь. Дешевую и непортящуюся. Вакцины и лекарства.
экономика дает толпу менеджеров-уродов.
Языки программирования с сильными системами типов, например.
Или универсальный способ задания ограничений при синтезе алгоритмов машинного обучения (этим я занимаюсь).
не, я продолжу полутроллинг.
сильные языки и синтез алгоритмов — это промежуточная цель.
Каких конечный-приземленны-практичных целей можно достичь с применением этих методов?
ХЗ, в пещерах в любом случае было более заебись.
я не про пещеры. см. первый пост треда про гпс и компы.
>экономика
>менеджеры
А поподробнее?
Ты переиграл в цивилизацию.
Согласен, но не со всем. ВТОРАЯ из теорем дает критерий сравнения формальных систем: если в системе А можно доказать непротиворечивость системы B, то A не погружается в B. В интернетах утверждается, что 1) формальный математический анализ не погружается в арифметику 2) теория типов не погружается в анализ 3) теория множеств не погружается в теорию типов.
То есть как минимум кое-что из вышеперечисленного НЕПРОТИВОРЕЧИВО, и, следовательно, не "слишком сильно" в вашем выражении, а значит "посоны, налетай, аксиомы добавляй". К тому же хотелось бы примеров "слишком сильных, и, следовательно, противоречивых" систем, потому что, ну, если они противоречивы, то, наверное, математикам не очень интересно в них копаться, в таких противоречивых — и если уже вышеперечисленное непротиворечиво, то моя гуманитарная половина подталкивает меня считать что и очень многое остальное в математике непротиворечиво, и, следовательно, открыто для Ивановых и Петровых для заталкивания аксиом.
Да и вообще, ваша формулировка, "либо слишком слаба, либо слишком сильная", такая формулировка как бы запрещает баловство с аксиомами — но ведь у Лобачевского получилось! Всё, чего я просил в /0 — это примеров того, как ЭТО ЖЕ САМОЕ баловство получилось у ещё кого-то, а не только Лобачевского. Только этого! Примеров! Потому что без них ну тогда получается ппц какой-то: такие охуенные теоремы Гёделя, а "работают" в вышеописанном смысле только для ОДНОГО чувака — Лобачевского — а остальным ни-ни, низя.
Но я благодарен вам за ваш ответ, потому что я, скорее всего, действительно не совсем верно что-то понимаю. Но я просто попросил примеров помимо заебавшего Лобаческого.
о построении говорится. Но метод арифметизации синтаксиса (фиксируется нумерация основных формальных объектов ...) — топорный, я думал кроме Лобачевского ещё кто-то креативный есть.
Друзья, я тут посмотрел на Тюбике В. Арнольда — "ОЧЕВИДНОЕ-НЕВЕРОЯТНОЕ: ЗАДАЧИ ВЛАДИМИРА АРНОЛЬДА" и вот что он сказал:
"В математике имеются неразрешимые задачи. Простейший пример: дана окружность на плоскости, нужно построить её центр. Циркулем и линейкой задача разрешима. А теорема Гёдела такая: если циркуля нет, а только одна линейка, то не существует способа построения центра. Доказательство — опустим наклонный эллиптический конус на эту окружность. У этого конуса есть два круговые сечения. Их можно спроектировать на вторую плоскость, и можно построить центр. Но эти два центра не лежат на одной прямой с вершиной конуса. Поэтому нет алгоритма, который в 100% случаев давал бы центр (он иногда даёт, а иногда — нет). Второй пример — разрешимость диофантовых уравнений (диофантовых значит в целых числах) достаточно высокой степени. Третий пример — геометрия Лобачевского. Лобачевский пытался доказать постулат Евклида от противного — предположим, что их много — и построил отдельную равноценную геометрию. И вывести из одной другую невозможно. Но теорема Гёделя такова: В любой математической теории (которая чуть сложнее, чем 2х2=4 и чуть-чуть ещё), в ней есть утверждение, которое нельзя доказать или опровергнуть; всегда существует две математики, в одной так, а в другой иначе, и никак не докажешь, и поэтому математика не замкнута и не является наукой о доказательствах".
Друзья, это ппц. Даже Арнольд, этот человечище, этот титанище, — не привёл примеров таких математик, он просто сказал "существуют две математики" и всё. А первые два примера — про циркуль и диофантовые уравнений — они вообще про первую фразу "в математике имеются неразрешимые задачи", а не про вторую фразу "есть утверждение, которое нельзя доказать или опровергнуть", потому что ну ведь доказано, что нельзя построить центр окружности, и нельзя отыскать алгоритм, который бы по любому диофантову уравнению сказал, имеет ли оно решение.
То есть про вторую часть даже Арнольд ничего кроме Лобачевского не сказал, это невыносимо уже.
Короче, я устал. Можете считать меня конченным безмозглым гуманитарием, но на сегодняшний день моё мнение такое: Гёдель — мудак, а теоремы его — говно.
Хули в них толку, если они не работают нихуя? Хули все математики приуныли, что вторую задачу Гильберта не решить, если никто блять не может ни одной аксиомы впихнуть ни в одну из существующих "формальных системы аксиом"? Один Герхард Генцен молодец — положил на Гёделя хуй, добавил к логике первого порядка бескванторную индукцию и доказал непротиворечивость арифметики, остальные обосрались. (Вот уже не спрашивайте у меня, что за "бескванторная индукция", я не математик нихуя). Математики блять.
> Один Герхард Генцен молодец
дедушка ленин полущ
Кстати, лол, по словосочетанию "бескванторная индукция" нагуглилась работа http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?... в которой уже в аннотации говорится о том, что утверждение А доказать нельзя, но если немного по-другому, то можно. И там рассматриваются аксиомы "элементарной арифметики". Но, бля, я же не математик, это же ОЧЕВИДНО, что я не могу читать труды уровня Математического института им. В. А. Стеклова, я не понял в этой работе НИЧЕГО, кроме предложения "Я благодарен О. Вербицкому, указавшему на возможность упрощения доказательства теоремы 3".
Хотя чего пинать себя по жопе за непонимание работ из МИАН, если в одном из фильмов про Г. Пелельмана рассказывалось, как он ездил по миру РАЗЪЯСНЯТЬ ход рассуждений, и сидящие в зале маститые математики рвали волосы на жопе от досады на то, что им бы и в голову не пришло ТАК строить рассуждения. Я не удивлюсь, если окажется, что бОльшую часть работ сотрудников МИАН могут понять только сотрудники МИАН, лол :)
Кстати, намного интереснее и перспективнее поковырять "Владимир Игоревич Арнольд. «ЖЕСТКИЕ» И «МЯГКИЕ» МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ."
сама по себе — ничего, она слишком абстрактна
дает возможность увязать вместе кванты, термодинамику, аэродинамику, химию, биологию и т.д.
чтобы не переизобретать велосипеды
ага. вот эта идея уже понятна и ее перспективы тоже.
странно что остальные участники дискуссии молчали об этом.
помимо заебашего Лобачевского, если на то пошло, можно вспомнить сферическую геометрию
если нет алгоритма, то это и значит что утверждение недоказуемо (конструктивно в рамках данной системы аксиом)
Спасибо, почитал. Намотал на ус выражение "Есть только два способа научить дробям — разрезать либо пирог, либо яблоко" ^_^
там про число уровней управления интересно и про гарантированный пиздец при излишней централизации.
Тупое быдло никогда не слышало о конструктивизме, Чёрч-тезисе и его несовместимости с правилом исключённого третьего?
Ты такой забавный.
inb4 я просто завидую
http://plato.stanford.edu/entries/logic-... В первой части "Intuitionistic arithmetic can consistently be extended by axioms (such as Church's Thesis) which contradict classical arithmetic".
Драгалина почитал, спасибо
По пути наткнулся на http://www.slate.com/articles/life/do_th...
И ещё результат
Кстати, удивительно от Колмогорова слышать такие слова — "действительно правильная теория". Это как спросить "Какая геометрия действительно правильная, Евклидова или Лобачевского".
Это произойдёт СЕГОДНЯ: http://polit.ru/article/2012/11/24/anons...
С нетерпением жду.
какие-то нерды одни
Я там был, например.
Он какие-нибудь примеры кроме Лобачевского привёл? prettyplease.jpg.to
Он рассказал, что авторы статей условно включают, например, гипотезу Римана. Типа так: предположим, что гипотеза Римана верна. Тогда ... ... ..., ... ..., и получаются интересные и полезные теоремы, рассказал.
А вообще — скоро на политру будет запись же.
Буду ждать запись и пересмотрю, thnx
А ещё он рассказал — вот новость-то! — что здоровенный кусок математиков является неоплатониками. Теперь я немного понимаю, почему элемир такой ебанутый^W специфческий.
$ wget http://video.polit.ru/121213_mos_pl_sosi...
--2012-12-14 16:00:52-- http://video.polit.ru/121213_mos_pl_sosi...
Распознаётся video.polit.ru... 217.16.18.203
Подключение к video.polit.ru|217.16.18.203|:80... соединение установлено.
HTTP-запрос отправлен. Ожидание ответа... 200 OK
Длина: 895098508 (854M) [video/x-flv]
Сохранение в: «121213_mos_pl_sosinskii.flv»
Не неоплатониками, а платониками.
офицер Ордена академических пальм !