Дочитал "Теорему Абеля". Кажется, в целом идея понятна: есть конкретное уравнение пятой степени с параметром z (их много таких, но мы рассмотрим одно), есть функция от параметра выражающая корни этого уравнения — и группа Галуа этой функции неразрешима. Значит, не существует такой формулы, в которой используются константы, переменная z и операции сложения, умножения, деления, возведения в степень и взятия корня, которая выражала бы корни данного уравнения: группы Галуа всех подобных "формул" (функций от z) разрешимы. Поэтому и для общего уравнения пятой степени нет формулы, выражающей корни через коэффициенты — если бы такая формула существовала, мы просто могли бы подставить значения коэффициентов из рассмотренного уравнения с параметром и получить формулу, выражающую корни этого уравнения через параметр, а такой формулы, как мы выяснили, нет. Общие уравнения высших степеней также неразрешимы в радикалах: можно рассмотреть то же самое уравнение, только к каждой степени прибавить n — риманова поверхность функции, выражающей корни такого уравнения через z, будет такой же как для пятой степени, только с дополнительным листом, поэтому группа Галуа будет та же самая (изоморфная симметрической группе пятой степени, содержащей в себе неразрешимый додекаэр). Вроде так, хотя я это только что дочитал и мог всё напутать. Последний параграф уже почти не решал (хотя 14-й решался отлично), задача 344 по-моему гробовая, да и в целом, мне сложно представить, как кто-нибудь может угадывать, что именно требуется доказать в 344-346 — вообще-то похожие ощущения от многих задач второй главы. А вот уже 347 показалась красивой. В общем, задачи из второй главы намного менее интересны, в первой была, например, красивая 166 (коммутанты фактора тянут коммутанты исходной группы в ядро, а ядро разрешимо — ловушка захлопывается!), и в самом начале много хороших задач. Резюмируя: сам материал очень нравится — особенно римановы поверхности, но пока нет ощущения, что хорошо понимаю происходящее, буду еще разбираться. Вот, кстати, тут интересно: http://juick.com/jtootf/1245267

#ongsoe

4 comments recommend bookmark subscribe