0xd34df00d
13.10.2011 09:22 Jabiru
Похоже, довольно легко определить групповую структуру на множестве некоторых преобразований F^2 → F^2, где F — множество математических выражений. То есть, таким образом можно захуячить весь аппарат теории групп на ГА.
14 comments
recommend
bookmark
subscribe
как ты определил тензорное произведение на выражениях? как определил бинарную операцию (композиция?), как доказывал сущствование обратного элемента?
> на множестве преобразований
На самих выражениях я не знаю, как определить. Прозреваю, что ее там и нет, ибо множество выражений распадается на, похоже, как минимум счетное число групп, а мне это неинтересно.
ещё раз — у тебя в определении фигурируют эндоморфизмы над F^2, т.е. F x F. как ты определил эту операцию?
хотя чёрт с ним, очевидно что речь идёт о декартовом произведении множеств, и ты рассматриваешь преобразования пар выражений. почему, кстати?
Не понял. Что такое F×F тогда, как не декартово произведение?
Потому что я хочу подвести кроссовер и мутейт из генетических алгоритмов под что-нибудь теоретическое. Кроссовер — F² → F², мутейт — два кроссовера подряд, но одно из выражений фиксировано и имеет простую структуру f(x), где f — из множества примитивных функций.
произведение является декартовым только тогда, когда существуют однозначно определяемые проекции. произведение гильбертовых пространств, например, декартовым не является
а то, что ты хочешь сделать, называется группой автоморфизмов (некоторого подмножества) F^2. что это за подмножество?
Однозначно определяемые проекции на что? На N что ли?
М. Почему подмножества? Кроссовер определен для любой пары элементов оттуда, пожалуй.
проекции — это мрфизмы A x B → A и A x B → B
подмножество — из твоего поста: на множестве некоторых преобразований (то есть не всех). если всех, то весь вопрос в простроении группы автоморфизмов F^2. задача сугубо техническая, вопрос лишь в том, насколько эта группа будет интересной (и не будет ли она тривиальной)
И почему это проекций нет? Можно построить итеративный алгоритм, позволяющий построить любое конечное выражение за конечное число шагов, значит, F изоморфно N, а так как N² вроде вполне декартово, то и F² декартово, не?
Потому что я не задумывался, какие еще могут быть там преобразования. С одной стороны, из общих соображений никаких больше быть и не может, с другой — я не готов предъявить сходу доказательство этого.
да что ты прицепился-то? хочешь, чтобы я определил на этом множестве недекартово произведение? ну возьми min по норме, например. не о том же речь — декартово, и слава Ктулху. изоморфизм F и N, впрочем, весьма сомнителен — это ты погорячился
ну а с этого, в общем-то, надо было начинать. для начала найти хотя бы один нетривиальный автоморфизм
Потому что не уверен, что сам до конца понял, потому и прицепился.
Define нетривиальный автоморфизм. Если не id — так я ж тебе показал уже один такой. Другой, бредовый, который пришел в голову и для F → F (впрочем, значит, и для F² → F²) — заменить все свободные переменные (листья) в дереве выражения на само исходное дерево. Не нужно, но демонстрирует, что не кроссовером единым.
примера выше я не вижу, а в данном случае мне не очевидно, что это автоморфизм. впрочем, errare humanum est
ухожу на концерт Haggard, но вообще забавная задача, надо будет вечером подумать
Автоморфизм же требует наличия обратного к себе, а получения любого элемента?
Впрочем, я совсем чего-то хуйню несу. А пример выше — это с кроссоверами.
Да, забавная. Правда, я не знаю, зачем я ее решаю и ваще, но почему-то хочется. И ваще, авторизуй уже мой новый jid :3
не понял вопроса. автоморфизм — это взаимооднозначное отображение в себя; как и любой изоморфизм, он обратим (всегда существует обратный морфизм)