106-я задача: доказать, что если при разложении группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ элементы $x_1, x_2$ лежат в смежном классе $X$, а $y_1, y_2$ в $Y$, элементы $x_1y_1$ и $x_2y_2$ находятся в одном смежном классе.

$x_1, x_2$ лежат в одном смежном классе — значит, существует $h_x\in H$ такой, что $x_1=h_xx_2$.

$y_1, y_2$ лежат в одном смежном классе — значит, существует $h_y\in H$ такой, что $y_1=h_yy_2$.

$x_1y_1=h_xx_2h_yy_2$

Левый и правый смежные классы элемента $x_2$ совпадают, так что всегда найдется подходящий $h'_y$, обладающий тем свойством, что $h'_yx_2 = x_2h_y$.

$x_1y_1=h_xx_2h_yy_2=h_xh'_yx_2y_2=hx_2y_2$
$(x_1y_1)=h(x_2y_2)$

По определению, $x_1y_1$ и $x_2y_2$ лежат в одном смежном классе.

#ogitts/1

reply

Да, $h'_y\in H$, конечно.

> Левый и правый смежные классы элемента $x_2$ совпадают

Как и у всех прочих элементов. Потому что подгруппа нормальна.

#ogitts/2

reply

Важный момент — превращение $h_xh'_y$ в $h$. Поскольку $h_x, h'_y$ лежат в подгруппе $H$, их произведение тоже в этой подгруппе, $h\in H$.

#ogitts/3

reply

Буду рад любым вопросам и указаниям, где непонятно.

#ogitts/4

reply

А, теперь понятно, а то в учебнике чехарда с индексами. В вику так-то можно было сразу.

Еще вот, как бы эти доказательства запомнить в быстрой форме, т.е. чтобы потом утверждения, о которых эти теоремы, были очевидны сразу, чтобы было ясно, например, почему $x_1 y_1$ и $x_2 y_2$ принадлежат одному классу. Интуитивно.

#ogitts/5

reply