Тут интенсивно используется факт, что произведение классов полностью определяется произведением любых двух представителей этих классов. В учебнике остроумное решение, но немного сложное для восприятия. В вики напишу упрощенное решение, а ниже пояснение к этому.
Точно так же, как $x=ab\in AB=X$ и $y=a^{-1}b^{-1}\in A^{-1}B^{-1}=Y$, элемент $xy$ оказывается в классе $XY$: $xy\in XY$, $aba^{-1}b^{-1}\in ABA^{-1}B^{-1}$. Но $aba^{-1}b^{-1}$ — коммутатор, значит должен лежать в коммутанте, то есть в $E$, $aba^{-1}b^{-1}\in E$ (понятно, почему в $E$?). Отсюда $ABA^{-1}B^{-1}=E$.
Бтв, результат этой задачи в том, что мы каждой группе ставим в соответствие некоторую естественную абелеву группу (фактор по коммутанту): таким образом строится функтор из категории групп в категорию абелевых групп.
Вообще говоря, и это и викино доказательство понятны; другое дело, что в них понятен каждый шаг, но нет интуиции всего происходящего в целом, что меня несколько волнует.
6 comments
recommend
bookmark
subscribe
Тут интенсивно используется факт, что произведение классов полностью определяется произведением любых двух представителей этих классов. В учебнике остроумное решение, но немного сложное для восприятия. В вики напишу упрощенное решение, а ниже пояснение к этому.
Точно так же, как $x=ab\in AB=X$ и $y=a^{-1}b^{-1}\in A^{-1}B^{-1}=Y$, элемент $xy$ оказывается в классе $XY$: $xy\in XY$, $aba^{-1}b^{-1}\in ABA^{-1}B^{-1}$. Но $aba^{-1}b^{-1}$ — коммутатор, значит должен лежать в коммутанте, то есть в $E$, $aba^{-1}b^{-1}\in E$ (понятно, почему в $E$?). Отсюда $ABA^{-1}B^{-1}=E$.
Бтв, результат этой задачи в том, что мы каждой группе ставим в соответствие некоторую естественную абелеву группу (фактор по коммутанту): таким образом строится функтор из категории групп в категорию абелевых групп.
Группа изоморфна факторгруппе по коммутанту?
> $aba^{−1}b^{−1}\in E$ (понятно, почему в $E$?)
Потому что разложение по коммутанту, $K(G)=E$?
Вообще говоря, и это и викино доказательство понятны; другое дело, что в них понятен каждый шаг, но нет интуиции всего происходящего в целом, что меня несколько волнует.
я гетеросэксуал